Теорему Пифагора знали до Пифагора. Вот кто был первым

Теорему Пифагора знает каждый, кто закончил школу, даже если давно забыл геометрию. Но вот с её автором всё оказалось не так просто. Пифагор ли её открыл? Археология упрямо твердит обратное: математика появилась задолго до письменности, а вавилоняне вовсю крутили это соотношение за тысячу с лишним лет до того, как греческий философ появился на свет. А единственное дошедшее до нас строгое доказательство и вовсе принадлежит другому человеку — Евклиду. Такой вот древний детектив протяжённостью в века.

Теорема Пифагора оказалась на тысячи лет древнее самого Пифагора

Что такое теорема Пифагора простыми словами

Формулировка знакома до автоматизма: в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длинной стороны, напротив прямого угла) равен сумме квадратов двух других сторон. Записывается это как a² + b² = c². Самый известный пример — треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 3² + 4² = 5² или 9 + 16 = 25.

За этой простотой стоит огромная практическая польза. В мире без GPS и лазерных дальномеров теорема позволяла землемерам размечать прямые углы, строителям — проверять ровность стен, а астрономам — вычислять расстояния на небе. Знаешь две стороны прямоугольного треугольника — найдёшь третью. Поэтому соотношение сторон прямоугольного треугольника стало одним из самых полезных инструментов древней математики.

Распространенный способ визуализации теоремы Пифагора.

И вот парадокс: при всей своей славе теорема, скорее всего, не была открытием Пифагора. Более того, сам Пифагор не оставил ни одного сохранившегося текста.

Почему теорему назвали именем Пифагора

Пифагор Самосский жил в VI веке до нашей эры и основал в Кротоне (юг современной Италии) необычную философскую общину. Пифагорейцы практиковали общинную жизнь, вегетарианство, обет молчания и верили, что числа — фундаментальная основа Вселенной. Сам Пифагор жил в пещере, где занимался частными исследованиями и иногда выступал перед учениками.

Римская копия греческого бюста Пифагора II-I веков до н. э.

Но ни одного текста, написанного лично Пифагором, не сохранилось. По крайней мере, археологи ничего не нашли. Греческие и римские авторы приписывали Пифагору (точнее, пифагорейцам, его ученикам) важные математические открытия. Но ни в одном из ранних источников, ближайшие по времени, включая труды Платона и Аристотеля, не упоминается связь Пифагора с теоремой.

Возможно, больше прав на теорему имеет Евклид — греческий мыслитель. Он написал свою легендарную книгу «Начала» около 300 года до н. э., то есть через два-три столетия после Пифагора. И именно в «Началах», книга I, предложение 47, Евклид доказал, что квадрат на стороне напротив прямого угла равен сумме квадратов на двух других сторонах. При этом он вообще не упоминал Пифагора.

Фрагмент папируса из второй книги «Начал» Евклида.

Имя Пифагора привязали к теореме значительно позже. В I веке до нашей эры это сделали Цицерон и Плутарх. Ещё позднее биограф греческих философов Диоген Лаэртский написал, что Пифагор якобы «принёс в жертву быка в честь открытия теоремы». Учёный V века по имени Прокл упоминает то же самое. Археологических подтверждений этому нет, но дело даже не в этом.

Вавилоняне знали теорему Пифагора раньше греков

Вполне вероятно, что до нас не дошли важные труды Пифагора, принадлежащие его перу. Но суть в том, что другие люди использовали теорему за тысячелетия до него. Самые убедительные доказательства того, что теорема была известна задолго до греков, пришли из Месопотамии.

Глиняная табличка Plimpton 322, датируемая примерно 1800 годом до нашей эры, содержит 15 строк с числами, которые представляют собой пифагоровы тройки — наборы чисел, образующие стороны прямоугольных треугольников. Причём это не только простейшие примеры вроде 3-4-5: некоторые тройки включают пятизначные числа, что указывает на систематический математический метод, а не на случайные замеры. По устройству табличка напоминает прообраз древней тригонометрической таблицы.

И это не единственный случай, когда глиняные таблички возвращают голос древней Месопотамии: учёные уже расшифровывали древний путеводитель возрастом 4000 лет.

Плимптон 322, вавилонская табличка с пифагоровыми тройками.

Есть и другая — YBC 7289 — вавилонская табличка из Йельского университета. На ней нарисован квадрат с диагоналями и приведено приближение √2 с точностью до шестого знака после запятой: около 1,414213. Для XVIII–XVII веков до нашей эры — точность ошеломляющая. А связь с теоремой здесь прямая: диагональ квадрата со стороной 1 — это и есть гипотенуза прямоугольного треугольника с двумя катетами по 1, и по теореме она равна именно √2.

Иначе говоря, вавилонские писцы не просто знали о соотношении, а умели систематически его применять — за тысячу с лишним лет до рождения Пифагора.

Как теорему Пифагора использовали в Египте и Китае

Между тем египетские писцы использовали математику для учета зерна, налогов и рабочей силы, а их знания в области геометрии (в том числе о соотношении площадей квадратов и прямых углов) помогали в геодезии и строительстве. Египетские землемеры использовали шнуры для измерения земельных участков и проведения прямых линий. Позже греки называли таких землемеров «гарпедонаптами», то есть натягивателями верёвок. Похожая практическая логика работала и в крупных древних стройках: до сих пор обсуждают, как строили пирамиды и доставляли к ним каменные блоки.

Берлинский папирус 6619, датируемый примерно 1800 годом до н. э., содержит задачу о двух квадратах, площади которых в сумме дают площадь третьего квадрата, равную 100 квадратным локтям. Одна сторона квадрата составляет 3/4 от другой. В современной терминологии задача звучит так: x² + y² = 100. В результате решения получаются стороны длиной 6 и 8, образующие треугольник 6-8-10 — увеличенную версию треугольника 3-4-5. Египтяне применяли это на практике: после ежегодных разливов Нила нужно было заново размечать границы полей, и геометрия прямоугольного треугольника была для них жизненной необходимостью (а вообще жители региона умели управлять рекой Нил для своего удобства).

В Индии «Шульба-сутры» (тексты примерно VIII–II веков до нашей эры) описывали, как строить жертвенные алтари. Алтари приходилось увеличивать, уменьшать и перестраивать, сохраняя при этом священную площадь, — без точной геометрии тут было не обойтись. «Баудхаяна-шульба-сутра», которую обычно относят к VIII веку до нашей эры, даёт одну из самых ранних явных формулировок теоремы: «Верёвка, натянутая по диагонали прямоугольника, образует площадь, равную той, что вертикальная и горизонтальная стороны создают вместе». По сути — та же теорема Пифагора, просто сказанная другими словами.

В китайской традиции то же соотношение носило название «теорема гоугу» (гоу и гу — катеты, сянь — гипотенуза). В древнем «Чжоуби суаньцзин» уже фигурирует треугольник 3-4-5, а в более позднем комментарии Чжао Шуана (около III века нашей эры) приведено наглядное визуальное доказательство: расставляешь прямоугольные треугольники внутри квадрата, сравниваешь площади — и теорема становится очевидной. На цепочку евклидовых аксиом это не похоже совсем, но по-своему строго и убедительно.

На этих страницах схема справа обычно называется «схемой с гипотенузой» и иллюстрирует доказательство теоремы гоугу (или Пифагора) в случае 3-4-5. На схеме слева показано, как квадрат со стороной 3 вписывается в квадрат со стороной 5.

Кто первым доказал теорему Пифагора

Строгий математик справедливо заметит: использовать соотношение, понимать его и формально доказать — это три разных уровня. Мы пользуемся гравитацией каждый день, но понять её механизм удалось только Ньютону.

Вавилонские писцы уверенно работали с пифагоровыми тройками. Египтяне решали задачи, требующие сложения квадратов. В индийских текстах звучало уже общее правило. Однако ни в одном из этих источников нет доказательства в современном смысле — логической цепочки от аксиом к утверждению.

Первое сохранившееся формальное доказательство принадлежит Евклиду, и если уж следовать строгой математической логике, теорему следовало бы называть его именем. Хотя и тут есть оговорка: мы не знаем, был ли Евклид действительно первым, кто доказал её строго, — просто до нас дошло именно его доказательство. И, кстати, история доказательств не закончилась на древних греках: уже в XXI веке школьницы предложили новый способ доказать теорему Пифагора.

И всё же стоит подчеркнуть: то, чем пользовались вавилоняне и египтяне, не было набором случайных совпадений. Это были рабочие математические инструменты — ими орудовали не единичные гении, а рядовые писцы и землемеры. А значит, мыслители этих цивилизаций наверняка понимали соотношение ещё глубже, просто их записи до нас не добрались.

Будь в курсе новых событий по максимуму — подписывайся на наш канал в Max!

Нужно ли переименовывать теорему Пифагора в честь вавилонян

Пифагор, по всей видимости, не открыл соотношение сторон прямоугольного треугольника с нуля. Другие культуры пользовались им за тысячу с лишним лет до него, а доказательство, которое дошло до нас, принадлежит Евклиду. Так что же — переименовывать?

В математике полно исторически неточных имён. Некоторые теоремы названы в честь того, кто их доказал, другие — в честь того, кто популяризировал, третьи — просто потому, что так повелось в учебниках. Название «теорема Пифагора» узнаваемо по всему миру, и любой школьник мгновенно понимает, о чём речь. Поэтому разумнее всего оставить привычное название, но рассказывать вместе с ним и всю остальную историю. Не потому, что Пифагор её не заслуживает, а потому что не меньшего признания заслуживают и другие цивилизации.